Verhältnisrechner
Nutzen Sie diesen Verhältnisrechner, um einen fehlenden Wert in zwei gleichwertigen Verhältnissen zu finden, und sehen Sie klare Schritte der Kreuzmultiplikation, eine vereinfachte Antwort und eine Überprüfung.
Proportionsrechner
Geben Sie drei Werte ein und lassen Sie den vierten leer — oder geben Sie x ein —, um danach aufzulösen. Füllen Sie alle vier aus, um zu prüfen, ob sie eine Proportion bilden. Brüche wie 3/4 und negative Zahlen werden akzeptiert.
Lassen Sie genau ein Feld leer, oder geben Sie x ein. 4 sind leer.
Gelesen als a verhält sich zu b wie c zu d. b und d stehen unter dem Bruchstrich, daher darf keines von beiden null sein.
Werte eingeben, um Ergebnisse zu sehen
Über diesen Verhältnisrechner
Dieser Verhältnisrechner löst Gleichungen, die als zwei gleiche Verhältnisse geschrieben sind. Geben Sie drei bekannte Werte ein und lassen Sie das vierte Feld leer, oder geben Sie x ein, um den unbekannten Term zu finden.
Das Ergebnis zeigt die vollständige Gleichung, die Kreuzprodukte, die Schritte zur Isolierung, eine exakte vereinfachte Antwort, den Dezimalwert sowie eine abschließende Überprüfung. Das Tool eignet sich für ganze Zahlen, Dezimalzahlen, negative Werte und Brüche.
So verwenden Sie den Verhältnisrechner
- Geben Sie drei bekannte Werte in die vier Bruchfelder ein.
- Lassen Sie das unbekannte Feld leer oder geben Sie x ein.
- Stellen Sie sicher, dass keiner der Nenner null ist.
- Klicken Sie auf „Berechnen“.
- Prüfen Sie den Wert der Unbekannten.
- Lesen Sie die Schritte, um den Ablauf der Kreuzmultiplikation zu sehen.
- Prüfen Sie die Verifikation, um zu bestätigen, dass beide Verhältnisse gleich sind.
- Setzen Sie die Felder zurück, um ein weiteres Problem zu lösen.
Nur ein Feld sollte unbekannt sein. Sind zwei oder mehr Felder leer, enthält die Gleichung nicht genug Informationen für eine eindeutige Antwort, und der Rechner weist darauf hin, statt einen Wert zurückzugeben.
Was ist eine Proportion?
Eine Proportion ist eine Gleichung, die besagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind. Sie wird üblicherweise so geschrieben:
a ÷ b = c ÷ d
Die Werte a und d sind die äußeren Glieder, während b und c die inneren Glieder sind. Sind beide Nenner ungleich null, haben gleiche Verhältnisse gleiche Kreuzprodukte:
a × d = b × c
Dieser Zusammenhang ermöglicht es, nach jedem beliebigen fehlenden Wert aufzulösen.
So lösen Sie eine Proportion
- Beginnen Sie mit zwei gleichen Verhältnissen und identifizieren Sie den unbekannten Term.
- Multiplizieren Sie über Kreuz den Zähler des ersten Verhältnisses mit dem Nenner des zweiten.
- Multiplizieren Sie den Nenner des ersten Verhältnisses mit dem Zähler des zweiten.
- Setzen Sie die beiden Produkte gleich.
- Dividieren Sie durch den Koeffizienten der Unbekannten.
- Vereinfachen Sie das Ergebnis.
- Setzen Sie die Antwort zur Überprüfung in die ursprüngliche Gleichung ein.
Die Kreuzmultiplikation funktioniert, weil das Multiplizieren beider Seiten einer Gleichung mit den beiden Nennern die Brüche entfernt, ohne die Gleichheit zu verändern.
Proportionsformeln
Für:
a ÷ b = c ÷ d
Die Regel des Kreuzprodukts lautet:
ad = bc
Die Formeln für den fehlenden Wert sind:
| Unbekannter Wert | Formel |
|---|---|
| a | a = bc ÷ d |
| b | b = ad ÷ c |
| c | c = ad ÷ b |
| d | d = bc ÷ a |
Der jeweilige Divisor darf nicht null sein. Auch die ursprünglichen Nenner b und d müssen ungleich null sein, da eine Division durch null nicht definiert ist.
Berechnungsbeispiel
Lösen Sie:
3 ÷ 5 = x ÷ 20
Schritt 1: Kreuzmultiplikation
3 × 20 = 5 × x
Schritt 2: Bekannte Werte multiplizieren
60 = 5x
Schritt 3: Beide Seiten durch 5 teilen
x = 12
Überprüfung
3 ÷ 5 = 0,6
12 ÷ 20 = 0,6
Da beide Verhältnisse 0,6 ergeben, ist die Antwort korrekt.
Verhältnis vs. Proportion
| Verhältnis | Proportion |
|---|---|
| Vergleicht zwei Größen | Besagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind |
| Kann als a:b oder a/b geschrieben werden | Kann als a/b = c/d geschrieben werden |
| Enthält zwei Glieder | Enthält üblicherweise vier Glieder |
| Erfordert kein zweites Verhältnis | Vergleicht ein Verhältnis mit einem anderen |
Ein Verhältnis wie 3:5 ist nur ein Vergleich. Eine Gleichung wie 3:5 = 12:20 ist eine Proportion, weil beide Vergleiche denselben Wert haben.
Direkte und umgekehrte Proportionalität
Bei einer direkten Beziehung verändern sich zwei Größen um denselben Skalierungsfaktor. Verdoppelt sich ein Wert, verdoppelt sich auch der andere.
Bei einer umgekehrten Beziehung steigt eine Größe, während die andere sinkt, sodass ihr Produkt konstant bleibt.
Der Rechner auf dieser Seite löst Gleichungen mit gleichwertigen Verhältnissen. Allgemeine Aufgaben zu direkter und umgekehrter Proportionalität können andere Gleichungen erfordern und sollten nicht mit dem Finden eines fehlenden Glieds in gleichen Verhältnissen verwechselt werden.
Häufige Anwendungen
Proportionen sind nützlich für:
- Skalieren von Rezepten
- Vergrößern oder Verkleinern von Zeichnungen oder Bildern
- Vergleichen von Preisen
- Lesen von Kartenmaßstäben
- Arbeiten mit ähnlichen Figuren
- Umrechnen von Einheitenraten
- Anpassen von Mischungsmengen
- Lösen von Textaufgaben im Unterricht
Die Werte müssen an entsprechenden Positionen stehen. Vergleicht das erste Verhältnis beispielsweise Kosten mit Menge, sollte auch das zweite Verhältnis Kosten über Menge verwenden.
Häufige Fehler
Vermeiden Sie folgende Fehler:
- Kreuzmultiplikation der falschen Terme
- Umkehren eines Verhältnisses, aber nicht des anderen
- Teilen durch den falschen Koeffizienten
- Eingeben von null als Nenner
- Offenlassen von mehr als einem Feld
- Zu frühes Runden
- Vergessen, die Antwort zu überprüfen
- Behandeln eines einzelnen Verhältnisses, als wäre es bereits eine Proportion
Wenn entsprechende Größen an denselben Zähler- und Nennerpositionen bleiben, lassen sich viele Aufstellungsfehler vermeiden.
Jetzt lösen
Geben Sie oben drei bekannte Werte ein und nutzen Sie den Verhältnisrechner, um den fehlenden Term zu finden, jeden Berechnungsschritt zu prüfen und die vollständige Gleichung zu verifizieren.
Häufige Fragen
Was macht ein Verhältnisrechner?
Er findet einen unbekannten Wert in zwei gleichwertigen Verhältnissen und zeigt die Schritte der Kreuzmultiplikation, mit denen die Antwort ermittelt wird, gefolgt von einer Überprüfung, dass beide Verhältnisse gleich sind.
Kann die Unbekannte an jeder Position stehen?
Ja. Der fehlende Wert kann sich entweder im Zähler oder im Nenner befinden, sofern die übrigen drei Werte eine gültige Gleichung ergeben.
Kann ich das fehlende Feld leer lassen?
Ja. Lassen Sie ein Feld leer oder geben Sie x ein, und das Tool erkennt, welcher Wert berechnet werden muss. Das Feld, nach dem gelöst wird, wird beim Tippen hervorgehoben, sodass Sie erkennen können, wie die Gleichung interpretiert wird, bevor Sie berechnen.
Kann ich Dezimalzahlen und Brüche verwenden?
Ja. Ein Bruch wie 3/4 sollte als ein einziger Wert eingegeben werden, statt auf mehrere Felder verteilt zu werden. Dezimalzahlen und negative Zahlen werden akzeptiert, und sofern es die Werte zulassen, wird die Antwort sowohl als exakter vereinfachter Bruch als auch als Dezimalzahl angegeben.
Kann ein Nenner null sein?
Nein. Ein Bruch mit dem Nenner null ist nicht definiert, sodass die Berechnung nicht fortgesetzt werden kann. Dasselbe gilt, wenn das Lösen eine Null unter den Bruchstrich setzen würde.
Was ist, wenn ich mehr als ein Feld leer lasse?
Die Gleichung enthält dann nicht genug Informationen für eine eindeutige Antwort, weshalb der Rechner dies mitteilt, statt zu raten. Genau ein Feld muss unbekannt sein.
Wie kann ich die Antwort überprüfen?
Setzen Sie das Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung ein und vereinfachen Sie beide Verhältnisse. Die Lösung ist bestätigt, wenn beide Seiten denselben Wert haben, und der Rechner führt diese Prüfung für Sie durch und zeigt sie zusammen mit dem Ergebnis an.