Faktorisierungsrechner

Über dieses Tool

Dieser Faktorisierungsrechner hilft Ihnen, algebraische Ausdrücke und Polynome in einfachere Ausdrücke zu zerlegen, deren Produkt der ursprünglichen Eingabe entspricht. Er eignet sich für Ausdrücke mit größtem gemeinsamem Teiler, Trinomen, Differenzen von Quadraten, Gruppierungsmustern sowie Summen oder Differenzen von Kuben.

Das Tool ist für die algebraische Faktorisierung konzipiert. Wenn Sie nur die positiven und negativen ganzzahligen Faktoren einer ganzen Zahl benötigen, verwenden Sie stattdessen einen separaten Faktorenrechner.

So verwenden Sie den Faktorisierungsrechner

1. Geben Sie den algebraischen Ausdruck ein.
2. Verwenden Sie ^, um bei Bedarf Exponenten einzugeben.
3. Prüfen Sie, ob alle Vorzeichen und Klammern korrekt sind.
4. Klicken Sie auf „Berechnen".
5. Sehen Sie sich die vollständig faktorisierte Form an.
6. Öffnen Sie die Schritte, um zu sehen, welche Faktorisierungsmethode angewendet wurde.
7. Multiplizieren Sie das Ergebnis aus, um zu prüfen, ob es mit dem ursprünglichen Ausdruck übereinstimmt.

Geben Sie zum Beispiel x^2 + 5x + 6 ein. Der Faktorisierungsrechner bestimmt zwei Zahlen, die zusammen 5 ergeben und multipliziert 6, und liefert (x + 2)(x + 3).

Was bedeutet Faktorisieren?

Faktorisieren kehrt die Multiplikation um. Es wandelt einen ausmultiplizierten Ausdruck in ein Produkt einfacherer Faktoren um, ohne seinen Wert zu verändern.

Zum Beispiel:

Ausmultiplizierte Form: x² + 5x + 6

Faktorisierte Form: (x + 2)(x + 3)

Multipliziert man die beiden Binome, erhält man wieder das ursprüngliche Polynom. Ein Faktorisierungsrechner kann diesen Vorgang beschleunigen und dabei auch die algebraischen Regeln hinter dem Ergebnis anzeigen.

So faktorisieren Sie einen algebraischen Ausdruck

Eine sinnvolle Reihenfolge beim Faktorisieren ist:

1. Suchen Sie nach dem größten gemeinsamen Teiler.
2. Zählen Sie die Anzahl der Terme.
3. Prüfen Sie auf besondere Muster.
4. Faktorisieren Sie Trinome, wenn möglich.
5. Versuchen Sie bei Ausdrücken mit vier oder mehr Termen die Gruppierung.
6. Wiederholen Sie dies, bis jeder Faktor vollständig faktorisiert ist.
7. Multiplizieren Sie das Ergebnis aus, um die Antwort zu bestätigen.

Beginnt man mit dem größten gemeinsamen Teiler, lässt sich der verbleibende Ausdruck oft leichter erkennen.

Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist der größte numerische oder algebraische Faktor, den sich alle Terme teilen.

Beispiel:

6x + 12 = 6(x + 2)

Beide Terme teilen sich den Faktor 6. Klammert man ihn zuerst aus, bleibt ein einfacheres Binom in der Klammer übrig.

Ein weiteres Beispiel:

8x³ + 12x² = 4x²(2x + 3)

Der Faktorisierungsrechner sollte sowohl den numerischen ggT als auch die niedrigste gemeinsame Potenz der Variablen erkennen.

Faktorisieren von Trinomen

Ein Trinom besteht aus drei Termen. Für eine normierte quadratische Gleichung wie:

x² + 5x + 6

Suchen Sie zwei Zahlen, die:

• zusammen 5 ergeben
• multipliziert 6 ergeben

Die Zahlen sind 2 und 3, also:

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Bei Trinomen, deren Leitkoeffizient nicht 1 ist, können zusätzliche Schritte wie das Aufteilen des mittleren Terms erforderlich sein.

Faktorisieren der Differenz von Quadraten

Das Muster für die Differenz von Quadraten lautet:

a² − b² = (a − b)(a + b)

Beispiel:

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

Diese Regel gilt nur, wenn zwei Quadratzahlen durch eine Subtraktion getrennt sind. Eine Summe wie x² + 9 lässt sich mit diesem Muster nicht über den reellen Zahlen faktorisieren.

Faktorisieren durch Gruppierung

Die Gruppierung ist oft nützlich, wenn ein Ausdruck vier Terme enthält.

Beispiel:

3x³ + 6x² + 2x + 4

Gruppieren Sie die Terme:

(3x³ + 6x²) + (2x + 4)

Faktorisieren Sie jede Gruppe:

3x²(x + 2) + 2(x + 2)

Klammern Sie dann das gemeinsame Binom aus:

(x + 2)(3x² + 2)

Ein Faktorisierungsrechner kann helfen, das wiederkehrende Binom zu erkennen, wenn das Gruppierungsmuster nicht sofort offensichtlich ist.

Faktorisieren von Summen und Differenzen von Kuben

Verwenden Sie diese Identitäten:

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Beispiel:

x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4)

Der quadratische Faktor in diesem Beispiel lässt sich über den reellen Zahlen nicht weiter faktorisieren.

Beispiele für Faktorisierung

Diese Beispiele zeigen, warum die Wahl der richtigen Methode wichtig ist. Der Faktorisierungsrechner bewertet die Struktur des Ausdrucks, bevor er die faktorisierte Form anzeigt.

Faktorisieren im Vergleich zum Finden der Faktoren einer Zahl

Dies sind verwandte, aber unterschiedliche Aufgaben.

• Faktorisieren eines algebraischen Ausdrucks: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
• Finden der Faktoren von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Diese Seite konzentriert sich auf algebraische Ausdrücke und Polynome. Verwenden Sie einen Faktorenrechner, wenn Sie die Teiler oder Faktorenpaare einer ganzen Zahl benötigen.

Faktorisieren im Vergleich zum Ausmultiplizieren

Faktorisieren wandelt eine Summe in ein Produkt um, während Ausmultiplizieren ein Produkt in eine Summe umwandelt.

x² + 5x + 6 ⇄ (x + 2)(x + 3)

Das Ausmultiplizieren des faktorisierten Ergebnisses ist eine der einfachsten Möglichkeiten zu prüfen, ob die Antwort korrekt ist.

Faktorisieren im Vergleich zum Lösen

Faktorisieren schreibt einen Ausdruck um. Lösen findet Werte, die eine Gleichung wahr machen.

Beispiel:

• Faktorisieren: x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
• Lösen: x² − 9 = 0 ergibt x = 3 oder x = −3

Ein Faktorisierungsrechner kann beim ersten Schritt des Lösens einer Polynomgleichung helfen, aber die Gleichung muss weiterhin gleich null gesetzt und gelöst werden.

Häufige Fehler beim Faktorisieren

Vermeiden Sie diese Fehler:

• Vergessen, zuerst den ggT auszuklammern
• Anwenden der Differenz-von-Quadraten-Regel auf eine Summe
• Auswahl von Zahlen, die zwar korrekt multipliziert, aber nicht korrekt addiert ergeben
• Vorzeichenfehler
• Aufhören, bevor der Ausdruck vollständig faktorisiert ist
• Kürzen von Termen über eine Addition hinweg
• Verwechseln von ganzzahligen Faktoren mit Polynomfaktoren
• Versäumnis, das Ergebnis zur Überprüfung auszumultiplizieren

Verwandte Rechner

• Kürzungsrechner
• Faktorenrechnerdemnächst verfügbar
• Rechner für Primfaktorzerlegungdemnächst verfügbar
• ggT-Rechnerdemnächst verfügbar
• Polynomrechnerdemnächst verfügbar
• Rechner für die quadratische Formeldemnächst verfügbar
• Ausmultiplizieren-Rechnerdemnächst verfügbar
• Gleichungslöserdemnächst verfügbar

Jetzt faktorisieren

Geben Sie oben einen algebraischen Ausdruck ein und nutzen Sie den Faktorisierungsrechner, um die faktorisierte Form, die angewendete Methode und die Schritte zur Antwort zu sehen.